Apresentação à Segunda Edição

Depois de publicar a primeira edição deste livro, continuei ministrando a disciplina Dinâmica Não-Linear e Caos de forma sistemática o que me fez amadurecer a forma de apresentar certas coisas. Isso tudo me motivou a produzir esta segunda edição o que também me permitiu corrigir e ampliar o texto original. Também alterei de forma significativa algumas partes. Conheço pessoas que realmente gostavam do jeito que era. Para elas peço boa vontade com as novidades, mas as fiz com o objetivo de melhorar o texto. Espero que este texto seja ainda mais acessível e completo.

Algumas sugestões também foram incorporadas, em especial as do ilustre colega Luis Antonio Aguirre (UFMG), cujos comentários muito me honraram, sendo motivo de muita reflexão. Não sei se atendi a todas as questões levantadas mas, certamente, elas enriquecerem este texto. Meus mais sinceros agradecimentos!

Esta nova edição traz dois novos capítulos: bifurcações e controle de caos. Controle de caos foi motivado pelo brilhante trabalho desenvolvido por minha amiga e colega Aline Souza de Paula durante o seu doutorado no tema. O capítulo sobre bifurcações era um desejo antigo que se consolidou. Para realizá-lo, vale um agradecimento especial a Guilherme V. Rodrigues.

E, quando tudo estava quase pronto, tive que ter um apoio decisivo para vencer o quase! Aí, vale um agradecimento especial para Francisco Heitor I. Pereira-Pinto que colaborou para produzir a versão final. Mas de fato, tenho muita gente para agradecer no que acabou se tornando um mutirão para gerar novos resultados.

Gostaria de colocar mais uma vez que, ao longo do texto, apresento resultados obtidos a partir das atividades de meu grupo de pesquisa. Alguns trabalhos de graduação, mestrado, doutorado e pós-doutorado contribuíram de forma significativa para isso. Portanto, vou citar alguns nomes novamente, não esquecendo os demais alunos (colegas e amigos) com os quais tive o prazer e a honra de trabalhar: Luciano G. Machado, Luiz Fernando Penna Franca, Sandor Divenyi, Flavio M. Viola, Susana L.D. Paiva, Eduardo G. F. Pinto, Milton Adriano N. Sá, Andre Varella Guedes, Sandra R.F.S.M. Gois e Sergio A. Oliveira. Cada uma dessas pessoas dedicou um grande esforço que, de alguma forma, está contido no texto.

Com o passar do tempo, muitos alunos viraram colegas e novos alunos apareceram para contribuir. Uma nova geração chegou para cumprir a renovação natural em nosso grupo. Neste contexto, vale destacar: Augusto L. Cheffer de Melo, Dimitri D.A. Costa, Raphael Santana Silva, Lucas L. Vignoli.

Particularmente motivador foi conhecer alguns alunos que utilizaram o livro para aprender sobre não-linearidades. E o destino fez deles novos membros de nosso grupo. Vale então agradecer ao bom amigo e colega Alberto Paiva que com seu trabalho dedicado e apaixonado motivou uma nova geração de discípulos. Todos eles ajudaram esta nova edição: Guilherme V. Rodrigues, Larissa M. Fonseca, Virgilio J. Caetano, Ramon S. Freitas, Phablo R. Carvalho, Guilherme L.T. Mendonça.

Mais uma vez devo agradecer a Pedro Manuel Calas Lopes Pacheco, amigo e parceiro de quase todas as horas; e a Arthur M.B. Braga, meu orientador e bom amigo que compartilhou comigo os meus primeiros passos no assunto. Destaco ainda os novos parceiros (mas velhos amigos) da nova geração: Wallace M. Bessa e Luciana Loureiro da Silva.

A ideia básica do texto continua sendo apresentar uma introdução ao caos, colocando os conceitos básicos de sistemas dinâmicos não-lineares. Uma motivação sobre as não-linearidades em diversos sistemas naturais é discutida. Apresento algoritmos que permitem uma análise numérica dos sistemas. Enfim, acho que a ideia é apresentar o caos de maneira formal, com um nível de profundidade adequado. Esta nova edição me deixou muito feliz. Acho que amadureceu bastante em relação a primeira. Novas explicações e novos temas a enriqueceram. Estou otimista que, um dia, ficarei verdadeiramente satisfeito com o resultado!

Por fim, gostaria de agradecer ao CNPq pelo contínuo apoio em diversos projetos de pesquisa. Vale também destacar outros apoios recebidos como os da FAPERJ, da CAPES e da AFOSR (Air Force Office of Scientific Research).

No mais, quero mais uma vez incentivar os leitores a mergulharem na aventura de compreender a natureza com seus ritmos caóticos. Que as não-linearidades estejam conosco!

SUMÁRIO

1 – Introdução

1.1 – Revisão Histórica.

1.2 – Sistemas Não-lineares

1.3 – Exercícios

2 – Dinâmica Não-linear

2.1 – Sistemas Dinâmicos

2.2 – Espaço de Fase.

2.3 – Mapa de Poincaré.

2.4 – Equivalência Topológica.

2.5 – Estabilidade.

2.6 – Linearização.

2.7 – Ponto de Equilíbrio.

2.8 – Vizinhança de um Ponto de Equilíbrio.

2.9 – Variedades

2.10 – Órbitas Homoclínicas e Heterocínicas

2.11 – Funções de Lyapunov.

2.12 – Sistemas Conservativos

2.13 – Soluções Periódicas

2.14 – Multiplicadores de Floquet

2.15 – Teoria de Índices

2.16 – Comportamento Assintótico.

2.17 – Exercícios

3 – Dinâmica Caótica.

3.1 – Transformação da Ferradura.

3.2 – Conjunto de Cantor

3.3 – Atratores Estranhos e Caóticos

3.4 – Caos Transiente.

3.5 – Fronteira Fractal de Bacia de Atração.

3.6 – Expoentes de Lyapunov.

3.7 – Dimensão Fractal

3.8 – Exercícios

4 – Bifurcações.

4.1 – Estabilidade Estrutural

4.2 – Diagramas de Bifurcação.

4.3 – Ressonância.

4.4 – Bifurcações Locais

4.5 – Bifurcações Globais

4.6 – Crise.

4.7 – Exercícios

5 – Análise de Séries Temporais.

5.1 – Transformadas e Ferramentas Lineares

5.2 – Reconstrução do Espaço de Estado

5.3 – Expoentes de Lyapunov.

5.4 – Dimensão Fractal

5.5 – Teste 0-1.

5.6 – Modelagem a Partir de Dados

5.7 – Exercícios

6 – Controle de Caos.

6.1 – Aprendizagem..

6.2 – Método OGY.

6.3 – Método Multiparâmetro Semicontínuo.

6.4 – Método Contínuo.

6.5 – Controle de um Pêndulo Não-linear

6.6 – Análise Comparativa.

6.7 – Exercícios

Apêndice A – Métodos Numéricos.

A.1 – Problema de Valor Inicial

A.2 – Problema de Valor de Contorno.

Apêndice B – Métodos de Perturbação

B.1 – Principais Técnicas de Perturbação.

B.2 – Oscilações Livres

B.3 – Oscilações Forçadas

B.4 – Exercícios

Bibliografia.